در بازی {فوتژال} اگر دو تیم به تساوی برسند، بازی به ضربات پنالتی کشیده میشود. هر تیم ۲ پنالتی میزند و تیمی که تعداد پنالتی بیشتری را گل کند، بازی را میبرد. اگر در ضربات پنالتی نیز مساوی شدند، بازی به {تکپنالتی} کشیده میشود. یعنی هر تیم یک پنالتی میزند و اگر برنده مشخص شد که بازی تمام است و اگر نه دوباره تکپنالتی میزنند تا برنده مشخص شود. تیمهای ایران و آرژانتین مسابقهی فوتژال برگزار کردهاند و بازی به ضربات پنالتی کشیده شده است. اگر بدانیم هر پنالتی تیم ایران به احتمال $\frac{۱}{۳}$ و هر پنالتی تیم آرژانتین به احتمال $\frac{۲}{۳}$ گل میشود، به چه احتمالی تیم ایران برندهی بازی خواهد بود؟
پاسخ
گزینهی ۳ درست است.
قرار دهید $p = \frac{۱}{۳}, q = \frac{۲}{۳}$. ابتدا فرض کنید بازی به ضربات تکپنالتی کشیده شده است. در این صورت اگر احتمال برد ایران را $x$ بگیریم، داریم: $$x = p(1-q) + \Big(pq + (1-p)(1-q)\Big)x$$ از رابطهی بالا مقدار $x = \frac{۱}{۵}$ به دست میآید.
برای محاسبهی جواب اصلی مسئله، میتوانید تمام حالات را محاسبه کنید؛ اما میتوان با کمی دقت دریافت که میتوان فرض کرد تمام پنالتیها را تیم آرژانتین میزند! به احتمال $\frac{۲}{۳}$ هر پنالتی برای آرژانتین و به احتمال $\frac{۱}{۳}$ برای ایران است. در واقع تا قبل از ضربات تکپنالتی میتوان فرض کرد چهار پنالتی توسط آرژانتین زده میشود. به این ترتیب احتمال برد ایران برابر است با: $$\binom{۴}{۳} \times (\frac{۱}{۳})^3 \times \frac{۲}{۳} + \binom{۴}{۴} \times (\frac{۱}{۳})^4 + \binom{۴}{۲} \times (\frac{۱}{۳})^2 \times (\frac{۲}{۳})^2 \times x = \frac{23}{135}$$