المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۱۵:سوال ۳۹

سؤال ۳۹

آرش برای فرستادن تقاضای استخدام برای هر یک از ده شرکت مختلف موردنظرش باید سه توصیه‌نامه از سه استاد مختلف خود (مجموعاً ۳۰ عدد) داشته باشد. چهار نفر از اساتید او به نام‌های دکتر قدسی، دکتر توسرکانی، دکتر جابری پور و دکتر اکبری برای او توصیه‌نامه خواهند نوشت. دکتر قدسی ۹ عدد، دکتر توسرکانی ۸ عدد، دکتر جابری پور ۷ عدد و دکتر اکبری ۶ عدد. آرش چند راه مختلف برای فرستادن این توصیه‌نامه‌ها دارد؟

  1. ۱۲٫۶۰۰
  2. ${۱۰ \choose ۴}$
  3. $۴^{10}$
  4. $۳^{10}$
  5. ۳٫۰۲۴

پاسخ

گزینه (۱) درست است.

توصیه‌نامه‌های چهار استاد را به ترتیب با $g$،$t$،$j$ و $a$ نام‌گذاری می‌کنیم‌٬ بنابراین ۹ عدد $g$، $8$ عدد $t$، $7$عدد $j$ و $6$ عدد $a$ وجود دارد که قرار است با آن‌ها ۱۰ سری ۳تایی بسازیم. تعداد $g$ ها ۹تا می‌باشد. بنابراین فقط یکی از ۳تایی‌ها $g$ ندارد که آن ۳تایی به شکل $tja$ می‌باشد. فقط دو سری از ۳تایی‌ها $t$ ندارند که آن ۳تایی‌ها به شکل $gja$ می‌باشند. فقط سه سری از ۳ تایی‌ها $j$ ندارند که آن ۳تایی‌ها به شکل $gta$ می‌باشند و بالاخره فقط چهار سری از ۳تایی‌ها $a$ ندارند که آن 3تایی‌ها به شکل $gtj$ می‌باشند. تعداد جای‌گشت‌های ۱۰ سری به‌دست آمده(که ۴ تااز آن‌ها باهم٬ ۳ تا از آن‌ها باهم و بالاخره ۲ تا از آن‌ها نیز باهم مشابه هستند) برابر $\frac{10!}{4! \times 3! \times 2! \times 1!}$ یعنی ۱۲۶۰۰ می‌باشد.


ابزار صفحه