المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۱۴:سوال ۵

سوال ۵

۱۰ نفر با نام‌های $a_1$ تا $a_{10}$ داریم که هرکدام یا راست‌گوست و یا دروغ‌گو. راست‌گو همیشه راست و دروغ‌گو همیشه دروغ می‌گوید. به چند طریق می‌توان دروغ‌گو یا راست‌گو بودن $a_1$ تا $a_{10}$ را تعیین کرد به طوری که هر نفر بتواند این جمله را بگوید که «از ۹ نفرِ دیگر٬ دقیقاً ۳ نفر راست‌گو و بقیه دروغ‌گو هستند.» ؟

  1. ۱
  2. ۱۰
  3. ۱۲۰
  4. ۱۲۱
  5. ۲۱۱

پاسخ

گزینه (۵) درست است.

معلوم است که اگر همه ۱۰ نفر دروغ‌گو باشند٬ همه افراد می‌توانند جمله یاد شده را بیان کنند و نیز اگر ۴ نفر از آن ۱۰ نفر راست‌گو و ۶ نفر دیگر دروغ‌گو باشند٬‌ همه افراد می‌توانند جمله مورد نظر را بیان کنند.

تعداد طرق اختصاص ۴ حرف «ر» و ۶ حرف «د» به دنباله از $a_1$ تا $a_{10}$ برابر $\binom{10}{4}$ و نیز تعداد طرق اختصاص ۱۰ حرف «د» به آن دنباله برابر $\binom{10}{10}$ می‌باشد٬ بنابراین جواب مورد نظر $\binom{10}{4} + \binom{10}{10}$ یعنی ۲۱۱ می‌باشد.


ابزار صفحه