دﯾﺸﺐ ﺷﻨﮕﻮل ﺗﺎ دﯾﺮوﻗﺖ ﻣﺸﻐﻮل دﯾﺪن ﻓﯿﻠﻢ و ﻓﻮﺗﺒﺎل ﺑﻮد و ﺗﺎ ﺻﺒﺢ ﮐﺎﺑﻮس دﯾﺪ! ﺑﻪ ﺷﻨﮕﻮل در ﮐﺎﺑﻮﺳﺶ اﻟﻬﺎم ﺷﺪ ﮐﻪ هر ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌﯽ $X$ را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﻪﺻﻮرت $X=2^K M$ ﻧﻮﺷﺖ ﮐﻪ در آن $K$ ﻋﺪدی ﺣﺴﺎﺑﯽ (ﻧﺎﻣﻨﻔﯽ) و $M$ ﻋﺪدی ﻓﺮد اﺳﺖ.
ﺷﻨﮕﻮل ﮐﻪ ﺧﻮﺷﺤﺎل ﺑﻮد ﺣﺘﯽ در ﮐﺎﺑﻮس و رؤﯾﺎ هم ﻋﻠﻢآﻣﻮزی ﻣﯽﮐﻨﺪ، ﻧﺎﮔﻬﺎن ﺧﻮدش را در ﻧﻘﻄﻪی ﺻﻔﺮ و ﺻﻔﺮ (ﻣﺮﮐﺰ) در ﺣﺎﻟﯽ ﮐﻪ رو ﺑﻪ ﺑﺎﻻ (اﻧﺘﻬﺎی ﻣﺤﻮر ﻣﺜﺒﺖ $y$ها در $x$ = ٠) در یک ﺟﺪول ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻧﺎﻣﺘﻨﺎهی ﯾﺎﻓﺖ! ﻧﺪاﯾﯽ از دور ﺑﻪ ﺷﻨﮕﻮل ﮔﻔﺖ ﮐﻪ «ﯾﻮها‌ها‌ها! ﺗﻮ در ﻃﻠﺴﻢ ﮐﺎﺑﻮس‌ها ﮔﯿﺮ اﻓﺘﺎدﻩای! ﺗﻮ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺎ ﺷﺮوع از ﻋﺪد ١، در هر ﻣﺮﺣﻠﻪ اﺑﺘﺪا ﻋﺪد ﻣﺮﺣﻠﻪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت $2^K M$ که در آن $M$ ﻋﺪدی ﻓﺮد و $K$ ﻋﺪدی ﻧﺎﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯽ، ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد $K$ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﮔﺮدش ٩٠ درﺟﻪ در ﺟﻬﺖ ساعت‌گرد ﺑﮑﻨﯽ، و ﻧﻬﺎﯾﺘﺎً $M$ ﮔﺎم ﺑﻪ ﺟﻠﻮ (در ﺟﻬﺘﯽ ﮐﻪ رو ﺑﻪ آن ﻗﺮار داری) راﻩ ﺑﺮوی!»
ﺷﻨﮕﻮل ﺷﺮوع ﮐﺮد ﺑﻪ راﻩ رﻓﺘﻦ!
تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 11287$ محاسبه شده‌اند.
اﻟﻒ): ﭘﺲ از ٢٠ ﮔﺎم اﮔﺮ ﺷﻨﮕﻮل در ﻧﻘﻄﻪی ($y$, $x$) ﺑﺎﺷﺪ، در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎﻗﯽﻣﺎﻧﺪﻩی ﺗﻘﺴﯿﻢ $x^9 y^9$ ﺑﺮ $\Delta$ ﭼﻨﺪاﺳﺖ؟
پاسخ
7541
ب): ﭘﺲ از $\Delta ^ 2$ (دﻟﺘﺎ ﺑﻪ ﺗﻮان دو) ﮔﺎم اﮔﺮ ﺷﻨﮕﻮل در ﻧﻘﻄﻪی ($y$, $x$) ﺑﺎﺷﺪ، در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎﻗﯽﻣﺎﻧﺪﻩی ﺗﻘﺴﯿﻢ $xy + x + y$ ﺑﺮ $\Delta$ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟
پاسخ
2413
ج): ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺷﻨﮕﻮل ﻣﺠﺎز اﺳﺖ در ﯾﮑﯽ و ﺗﻨﻬﺎ ﯾﮑﯽ از ﻣﺮاﺣﻠﺶ (ﻣﺜﻞ ﻣﺮﺣﻠﻪ $i$) ﺗﻘﻠﺐ ﮐﻨﺪ و ﺑﻪﺟﺎی ﻋﻤﻞ ﮐﺮدن ﻃﺒﻖ ﺗﺠﺰﯾﻪی $i$ ﺑﻪ ﯾﮏ ﺗﻮان دو و ﯾﮏ ﻋﺪد ﻓﺮد، ﯾﮏ ﻋﺪد دﯾﮕﺮی ﮐﻪ ﺧﻮدش دوﺳﺖ دارد را ﺑﻪ ﺟﺎی $i$ در اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﺪ. دﻗﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﻌﺪی (در ﺻﻮرت ﻟﺰوم) اﻟﺰاﻣﺎً ﺑﺎﯾﺪ از $i+1$ دﻧﺒﺎل ﺷﻮد. در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﮔﺮ ﺑﺪاﻧﯿﻢ راﻩ ﻓﺮار از اﯾﻦ ﺟﺪول ﻃﻠﺴﻢ ﺷﺪﻩ رﺳﯿﺪن ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪی $(-66, -666016)$ اﺳﺖ، در اﯾﻦﺻﻮرت ﺷﻨﮕﻮل ﭘﺲ از ﭼﻨﺪ ﺑﺎر ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ (ﭼﻨﺪﻣﯿﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ) ﻣﯽﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﺧﺮوج ﺑﺮﺳﺪ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﻮان دو رﺳﺎﻧﺪﻩ و ﺑﺎﻗﯽ ﻣﺎﻧﺪﻩاش ﺑﺮ $\Delta$ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ.
پاسخ
1600