سوال ۱۸

در یک جلسه‌ی امتحان، ‎$m$‎ ردیف صندلی و در هر ردیف ‎$n$‎ صندلی قرار گرفته‌است. روی هر یک از صندلی‌ها یک دانش‌آموز نشسته است. در ابتدای امتحان هر دانش‌آموز با دانش‌آموز جلو، عقب، سمت راست و سمت چپ خود (در صورت وجود) دست می‌دهد. اگر بدانیم که در مجموع ‎۱۴۸‎ بار عمل دست دادن انجام شده است، کدام یک از عددهای زیر می‌تواند برابر با تعداد دانش‌آموزان باشد؟

  1. ۳۶
  2. ۶۴
  3. ۸۴
  4. ۹۶
  5. هیچ‌کدام

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

چهار نفری که در گوشه‌ها نشسته‌اند با ۲ نفر دست می‌دهند. تمام افرادی که در کناره‌ها نشسته‌اند (غیر از افراد گوشه‌ای) با ۳ نفر دست می‌دهند و بقیه‌ی افراد با ۴ نفر دست می‌دهند. پس:

$$\frac{4\times2+[(m-2)+(m-2)+(n-2)+(n-2)]\times3+(n-2)(m-2)\times4}{2}=148 \\ \Rightarrow 2mn-m-n=148 \Rightarrow (2n-1)(2m-1)=297$$

این معادله در مجموعه اعداد طبیعی سه دسته جواب دارد: $(5,17)،(2,50)$ و $(6,14)$.

چون مجموع دانش‌آموزان برابر با $mn$ می‌باشد پس مجموع دانش‌آموزان یکی از اعداد ۸۵٬۱۰۰ و ۸۴ می‌باشد با توجه به گزینه‌ّها٬ گزینه ۳ صحیح است.