سوال ۲۷

شکل روبه‌رو یک مستطیل آینه‌ای به ابعاد $۴\times ۴$ آینه‌ای را نشان می‌دهد که روی سطح بالایی آن ۵ سوراخ (با احتساب گوشه‌ها) با فواصل مساوی از هم تعبیه‌ شده‌اند. یک سوراخ را طلایی می‌گوییم اگر پس از تاباندن یک پرتو نور از آن سوراخ با زاویه ۴۵ یا ۱۳۵ درجه نسبت به ضلع بالایی مستطیل آن پرتو بعد از دقیقاً یک‌بار برخورد به ضلع پایین مستطیل دقیقاً از همان سوراخ ورودی، خارج شود. دقت کنید که اگر یک پرتو به یکی از دو کنج پایینی برسد، چون بازتابش روی خودش می‌افتد، نابود می‌شود ولی اگر به یکی از دیواره‌ها یا کف برخورد کند، با ۹۰ درجه چرخش، بازتاب یافته و مسیرش را ادامه می‌دهد. مجموع تعداد سوراخ‌های طلایی در سه جدول «$۱۳۸۴ \times ۱۳۸۴$»، « $۲۰۰۶ \times ۱۳۸۴$ »و «$۴۱۵۲ \times ۱۳۸۴$» چند است؟ بدیهی است که یک جدول «$n \times m$» ، $m+1$ سوراخ (با احتساب گوشه‌ها) دارد.

  1. صفر
  2. ۱۳۸۳
  3. ۲۷۶۶
  4. ۴۱۴۹
  5. هیچ‌کدام

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

شرط لازم و کافی برای آن‌که سوراخ‌های یک مستطیل $n\times m$، طلایی باشد آن است که $n$ مضربی از $m$ باشد. این موضوع در شکل مقابل نشان داده شده است.

فرض می‌کنیم مستطیل $n\times m$ مطابق شکل مقابل دارای سوراخ طلایی باشد٬ آن‌گاه پرتوهای ورودی و خروجی از تلاقی بایک‌دیگر $k$ مستطیل $a\times b$ ایجاد می‌کنند که طول مستطیل اولیه $\frac{\sqrt{2}k}{2}(a+b)$ و عرض آن مستطیل برابر $\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)$ می‌شود به این معنا که طول مستطیل باید $k$برابر عرض آن باشد ($k$ عددی است صحیح). بنابراین شرط لازم و کافی برای آن که سوراخ‌های مستطیلی $n\times m$، طلایی باشد آن است که $n$ مضرب صحیحی از $m$ باشد. معلوم است که در این حالت به غیر از دو سوراخ گوشه‌ای٬ مابقی $m-1$ سوراخ همگی طلایی خواهند بود.

در بین مستطیل‌های داده شده٬ سوراخ‌های غیر واقع بر گوشه‌های $1384\times1384$ و $4152\times1384$ همگی طلایی‌اند که تعداد کل آن‌ها $1383+1383$ یعنی ۲۷۶۶ می‌شود.