سؤال ۱۶

۲۰ عدد کاسه داریم که در هر یک می‌توانیم یک پنج تومانی قرار دهیم یا آن را خالی بگذاریم. هم‌چنین ۱۰ کاسه‌ی دیگر داریم که در هر یک می‌توانیم یک ۲ تومانی قرار دهیم یا آن را خالی بگذاریم. به چند طریق می‌توانیم در این کاسه‌ها، سکه‌هایی ۵ تومانی و ۲ تومانی قرار دهیم تا مجموع سکه‌های موجود در کاسه‌ها ۸۱ تومان شود؟

  1. ${۲۰\choose ۱۵} + {۲۰\choose ۱۳} + {۱۰\choose ۳} + {۱۰\choose ۸}$
  2. ${۲۰\choose ۱۵} \times {۲۰\choose ۱۳} \times {۱۰\choose ۳} \times {۱۰\choose ۸}$
  3. $\frac{15!+8×13!×14}{20!}$
  4. ${۱۳\choose ۸} + {۱۵\choose ۳}$
  5. ${۲۰\choose ۱۵} \times {۱۰\choose ۳} + {۲۰\choose ۱۳} \times {۱۰\choose ۸}$

پاسخ

گزینه (۵) درست است.

مجموع سکه‌های ۲تومانی حداکثر برابر ۲۰ می‌تواند باشد٬ بنابراین تعداد کاسه‌هه‌های شامل ۵ تومانی حداقل برابر ۱۳ و حداکثر برابر ۱۵ می‌باشد. چون مجموع سکه‌های ۲ تومانی زوج است٬ بنابراین مجموع سکه‌های ۵ تومانی باید فرد باشد٬ بنابراین تعداد کاسه‌های شامل ۵تومانی یا برابر ۱۳ است(که در این صورت تعداد کاسه‌های شامل ۲ تومانی برابر ۸ خواهد بود) و یا تعداد آن کاسه‌ها برابر ۱۵ است(که در این صورت تعداد کاسه‌های شامل ۲ تومانی برابر ۳ خواهد بود)٬ بنابراین جواب به شکل زیر خواهد بود:

$${۲۰\choose ۱۵} \times {۱۰\choose ۳} + {۲۰\choose ۱۳} \times {۱۰\choose ۸}$$