سوال ۱۹

فردی از محل $A$‎ می‌خواهد با حرکت‌های افقی و عمودی به نقطه‌ای از خیابان اصلی شهر برسد (ضلع ‎($BC$‎ برسد به‌طوری که مسیری که طی می‌کند کوتاه‌ترین مسیر باشد و از ابتدای شروع حرکت تا انتها دقیقاً در ‎۳‎ مکان تغییر جهت بدهد. (ضلع‌های ‎‎$AB$ و ‎$AC$‎ به ‎۱۰‎ قسمت مساوی تقسیم شده‌اند‎(.‎ وی به چند طریق می‌تواند مسیر خود را انتخاب کند؟

  1. ۱۶۸
  2. ۲۴۰
  3. ۱۲۰
  4. ۸۴
  5. ۱۰۲۴

پاسخ

گزینه (۱) درست است.

فرض می‌کنیم حرکت اول به سمت راست باشد در این صورت برای رسیدن به $BC$ ده واحد طی خواهد شد که آن را به صورت $aaaaaaaaaa$ نمایش می‌دهیم. هدف قرار دادن سه علامت به نشانه‌ی مکان‌های تغییر جهت در بین $a$ها می‌باشد که این امر به $\binom{9}{3}$ یعنی ۸۴ طریق امکان‌پذیر است( بین هر دو $a$ متوالی یک جا خالی برای قرار دادن مکان‌نما وجود دارد و بین ده عدد $a$ مجموعا نه جا خالی وجود دارد).

اگر حرکت اول به سمت بالا باشد نیز برای رسیدن به $BC$ به ۸۴ طریق می‌توان عمل کرد که مجموع کل مسیرهای مطلوب $84+84$ یعنی ۱۶۸ خواهد شد.