سوال ۲۷

یک خط ‎«سوایی»‎ در مثلث، یک پاره‌خط از یک رأس مثلث به ضلع مقابل آن است. در مثلث ‎$ABC$‎ از رأس‌های ‎$B$‎، ‎$A$‎ و ‎$C$‎ به‌ترتیب ‎۱۵٬۵ و ‎۱۰‎ خط سوایی رسم کرده‌ایم. اگر هیچ ‎۳‎ خطی در یک نقطه داخل مثلث هم‌دیگر را قطع نکنند، چند ناحیه در داخل مثلث به‌وجود می‌آید؟ ‎

  1. ۲۷۵
  2. ۲۷۶
  3. ۳۰۶
  4. ۷۵۰
  5. ۱۰۵۶‎

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

۵ خط مرسوم از $A$‎ مثلث را به ۶ ناحیه تقسیم می‌کند. ۱۵ خط مرسوم از ‎$B$‎ هریک٬ خطوط مرسوم از $A$ (پنج خط سوایی به همراه پاره‌خط $AC$) را قطع می‌کند و به ازای هر نقطه‌ی تقاطع یک ناحیه‌ی جدید ایجاد می‌شود. بنابراین کل ناحیه‌های به‌دست آمده تا این مرحله برابر $15\times6+6$؛ یعنی ۹۶ می‌باشد. هریک از ۱۰ خط مرسوم از ‎$C$ هر یک از ۲۱ خط قبلی ($15+5$ خط سوایی به همراه پاره‌خط $AB$) را در یک نقطه قطع می‌کند٬ بنابراین تعداد ناحیه‌های اضافه شده برابر $10\times21$؛ یعنی ۲۱۰ خواهد شد. معلوم می‌شود که تعداد کل ناحیه‌ها برابر $210+96$؛ یعنی ۳۰۶ می‌باشد.