====== یکی از این دو تا از اون ======

دینگو یک درخت دودویی کامل با ارتفاع $n$ و $2^n$ برگ دارد. او روی برگ‌های این درخت از سمت چپ به راست به ترتیب اعداد $0$ تا $2^n-1$ را می‌نویسد. دینگو روی بقیه‌ی راس‌ها نیز به این صورت عدد می‌نویسد: عدد یک راس غیر برگ برابر است با عدد فرزند سمت چپ آن بعلاوه‌ی دو برابر عدد فرزند سمت راست آن. نمونه‌ای از نحوه‌ی ساخت این درخت را به ازای $n=3$ در شکل زیر مشاهده می‌کنید. عدد روی ریشه را $A$ می‌نامیم.



{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_سوم:دوره‌ی_۲۵:یکی_از_این_دو_تا_از_اون.png |}}



**تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10607$ محاسبه شده‌اند.**


** $4$- الف ($8$ نمره) :** 
اگر $n=10$ باشد، باقیمانده‌ی $A^3$ بر $\Delta$ چند است؟

<پاسخ>

4880

</پاسخ>


** $4$- ب ($7$ نمره) :** 
اگر $n=10^3$ باشد، باقیمانده‌ی $A^3$ بر $\Delta$ چند است؟

<پاسخ>

7143

</پاسخ>

** $4$- ج ($7$ نمره) :** 
اگر $n=10^6$ باشد، باقیمانده‌ی $A^3$ بر $\Delta$ چند است؟

<پاسخ>

4079

</پاسخ>

** $1$- د ($10$ نمره) :** 
اگر دینگو بتواند ترتیب اعداد نوشته شده روی برگ‌ها را عوض کند،‌ به ازای $n=2015$ باقیمانده‌ی بزرگترین مقدار ممکن برای $A$ بر $\Delta$ چند است؟

<پاسخ>

4650

</پاسخ>


  * [[سوال ۵|سوال بعد]]
  * [[سوال ۳|سوال قبل]]