====== سوال ۳۱ ======
{{:سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۷:317.png |}}
از یک مستطیل شطرنجی با اضلاع $3\times5$ که اضلاع مربع‌های آن چوب‌کبریت هستند٬ بعضی از چوب کبریت‌ها را بر می‌داریم تا مارپیچی مانند شکل مقابل با ۲۳ چوب‌کبریت به‌دست آید. اگر همین کار را با مستطیل شطرنجی دیگری انجام دهیم و ۸۷ چوب‌کبریت باقی بماند٬ اضلاع این مستطیل چقدر است؟

  - $7\times10$
  - $7\times11$
  - $6\times11$
  - $8\times10$
  - $7\times9$

<پاسخ>
گزینه (۱) درست است.

اگر داخلی‌ترین شاخه‌ی مارپیچ را $x$ عدد چوب در نظر بگیریم تعداد کل چوب کبریت‌ها پس از $n$ پیچ برابر خواهد بود با:

$$m=(x-1)+(2+x)+(3+x+1)+(4+x+2)+...+(n+x+n-2) \\ \Rightarrow m= nx+n(n-1)-1 \Rightarrow 87=n(x+n-1)-1 \Rightarrow n(x+n-1)=88$$

۸۸ را به سه نوع می‌توان به صورت حاصل ضرب عوامل مثبتش نوشت:

$$I.88=2\times44 \\ II.88=4\times22 \\ III.88=8\times11$$

پس در هر مورد  خواهیم داشت:

$$I.n(x+n-1)=2\times44 \quad \Rightarrow \quad n=2 \quad , \quad x=43$$

در این حالت مستطیل مورد نظر $1\times43$ خواهد بود:

$$II.n(x+n-1)=44\times2 \quad \Rightarrow \quad n=4 \quad , \quad x=19$$

در این حالت مستطیل مورد نظر $3\times21$ خواهد بود:

$$III.n(x+n-1)=8\times11 \quad \Rightarrow \quad n=8 \quad , \quad x=4$$

در این حالت مستطیل مورد نظر $7\times10$ خواهد بود که یکی از جواب‌ها است و جواب مورد انتظار مسئله همین حالت بوده است. برای این حالت شکل زیر رسم شده است:


{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۷:31.png |}}


</پاسخ>
  * [[سوال ۳۲|سوال بعد]]
  * [[سوال ۳۰|سوال قبل]]