====== سوال ۱۸ ======

در یک جلسه‌ی امتحان، ‎$m$‎ ردیف صندلی و در هر ردیف ‎$n$‎ صندلی
قرار گرفته‌است. روی هر یک از صندلی‌ها یک دانش‌آموز نشسته است.
در ابتدای امتحان هر دانش‌آموز با دانش‌آموز جلو، عقب، سمت راست
و سمت چپ خود (در صورت وجود)  دست می‌دهد. اگر بدانیم که
در مجموع  ‎۱۴۸‎ بار عمل دست دادن انجام شده است، کدام یک از
عددهای زیر می‌تواند برابر با تعداد دانش‌آموزان باشد؟


  - ۳۶
  - ۶۴
  - ۸۴
  - ۹۶
  - هیچ‌کدام
<پاسخ>
گزینه (۳) درست است.

چهار نفری که در گوشه‌ها نشسته‌اند با ۲ نفر دست می‌دهند. تمام افرادی که در کناره‌ها نشسته‌اند (غیر از افراد گوشه‌ای) با ۳ نفر دست می‌دهند و بقیه‌ی افراد با ۴ نفر دست می‌دهند. پس:

$$\frac{4\times2+[(m-2)+(m-2)+(n-2)+(n-2)]\times3+(n-2)(m-2)\times4}{2}=148 \\ \Rightarrow 2mn-m-n=148 \Rightarrow (2n-1)(2m-1)=297$$

این معادله در مجموعه اعداد طبیعی سه دسته جواب دارد: $(5,17)،(2,50)$ و $(6,14)$.

چون مجموع دانش‌آموزان برابر با $mn$  می‌باشد پس مجموع دانش‌آموزان یکی از اعداد ۸۵٬۱۰۰ و ۸۴ می‌باشد با توجه به گزینه‌ّها٬ گزینه ۳ صحیح است.

</پاسخ>
  * [[سوال ۱۹|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۷|سوال قبل]]