====== سوالات ۲۵ تا ۲۷ ======




دنباله‌ای از اعداد طبیعی و متمایز را در نظر بگیرید که از عدد ۱ شروع شده و به عدد $n$ ختم می‌شود. به چنین دنباله‌ای
**عول**
گوییم، اگر هر عدد دنباله، مضرب عدد قبلی باشد. برای مثال دنباله‌ی
$\langle 1, 3, 6, 30, 60 \rangle$
یک دنباله‌ی عول است.





====== سوال ۲۵ ======




تعداد عناصر بلندترین دنباله‌ی عول به ازای
$n=810000$
چیست؟

  - ۹
  - ۱۰
  - ۱۱
  - ۱۲
  - ۱۳






<پاسخ>
گزینه‌ی ۵ درست است.



با تجزیه‌ی $n$ داریم:
$$810000 = 2^4 \times 3^4 \times 5^4$$
در هر مرحله دست کم یک عامل  در عدد ضرب می‌شود. پس طول بلندترین دنباله‌ی عول
۱۳ خواهد بود.




</پاسخ>
====== سوال ۲۶ ======



تعداد عناصر بلندترین دنباله‌ی عول به ازای
$n=10800$
را
$k$
در نظر بگیرید. تعداد دنباله‌های عول $k$ عنصره به ازای
$n=10800$
چیست؟


  - ۵۱۲۰
  - $9!$
  - ۲۸۸
  - ۱۲۶۰
  - $6!$



<پاسخ>


گزینه‌ی ۴ درست است.



با تجزیه‌ی عدد داریم:
$10800 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2$
مانند استدلال سوال قبل، طول بلندترین دنباله‌ی عول برابر
$k=10$
خواهد شد.
حال برای آن که طول دنباله ۱۰ شود باید در هر مرحله دقیقن یک عامل در عدد ضرب شود. این تعداد معادل یک جایگشت از ۴ عدد ۲، ۳ عدد ۳ و ۲ عدد ۵ است. پس پاسخ برابر است با:
$$\frac{9!}{4!3!2!} = 1260$$



</پاسخ>



====== سوال ۲۷ ======



چند دنباله‌ی عول به ازای
$n=5120$
وجود دارد؟

  - ۶۱۴۴
  - ۳۰۷۲
  - ۱۲۲۸۸
  - ۴۰۹۶
  - ۵۶۳۲








<پاسخ>
گزینه‌ی ۱ درست است.



با تجزیه‌ی عدد داریم:
$n = 2^{10} \times 5$
دو حالت داریم:


  * عامل پنج در یک مرحله‌ی مستقل ضرب شود. در این صورت اگر عامل‌های ۲ در $k$ مرحله ضرب شوند، تعداد حالات برابر تعداد جواب‌های معادله‌ی $x_1 + \ldots + x_k=10$ در مجموعه‌ی اعداد طبیعی است که برابر $\binom{9}{k-1}$ می‌باشد. انتخاب مرحله‌ی عدد پنج نیز $k+1$ حالت دارد.
  * مانند استدلال حالت قبل $\binom{9}{k-1}$ حالت برای پخش عوامل دو در یک دنباله‌ی به طول $k$ داریم، اما این بار انتخاب مرحله‌ی عدد پنج $k$ حالت دارد. 


با استفاده از اتحادهای ترکیبیاتی پاسخ برابر است با:
\begin{align*}
S &= \sum_{k=1}^{10} (k+1) \binom{k-1}{9} + \sum_{k=1}^{10} k \binom{k-1}{9}\\
&= 2 \sum_{k=1}^{10} (k-1) \binom{k-1}{9} + 3\sum_{k=1}^{10} \binom{k-1}{9}\\
&= 2 \times 9 \times 2^{9-1} + 3 \times 2^9\\
&= 6144\\
\end{align*}



</پاسخ>





  * [[سوالات ۲۳ و ۲۴|سوال قبل]]
  * [[سوالات ۲۸ تا ۳۰|سوال بعد]]