====== سوال ۱۴======

{{:سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۷:h.png?nolink |}}

مورچه‌ای می‌خواهد در مکعّب روبه‌رو از رأس $A$، با حرکت روی پاره‌خط‌ها، به رأس $B$ (رأس مقابل $A$) برود. فرض کنید در هر حرکت مورچه از یک سر پاره‌خط به سر دیگر آن می‌رود. می‌دانیم بعد از ۵ حرکت مورچه روی رأس $B$ قرار دارد. او به چند طریق می‌تواند این مسیر را طی کرده باشد؟

  - ۳۶
  - ۴۸
  - ۶۰
  - ۹۰
  - ۱۲۰
<پاسخ>

گزینه‌ی (۳) درست است.


می‌دانیم که برای رسیدن از $A$ به $B$ دقیقا باید یک عمل بالا، یک راست و یک عقب انجام شود. در نتیجه باید جایگشتی از $RUB$ را داشته باشیم. برای اینکه در حرکت پنجم در نقطه $B$ باشیم باید دقیقا یک حرکت به صورت رفت و برگشت اضافه انجام شود. حالت اول فرض می‌کنیم دو حرکت اضافه شده حرکت به راست و چپ است. در نتیجه باید جایگشتی از رشته $RRLUB$ به عنوان دنباله حرکات انتخاب شود. پس تعداد روشها برای این حالت !5 است ولی باید این نکته را در نظر داشت که حرکت به سمت راست و چپ قابلیت جابجایی ندارند. یعنی نمی‌توانیم ابتدا به سمت چپ حرکت کرده و سپس دو بار به سمت راست حرکت کنیم زیرا از مکعب خارج خواهیم شد. برای حل این مشکل فرض کنیم سه حرف $RRL$ با یکدیگر فرقی ندارند و در عوض باید به ترتیب $RLR$ در دنباله بیایند. در نتیجه برای حالت اول به اندازه $\frac{5!}{3!}$ روش وجود دارد. حالت دوم به صورتی است که به جای اضافه شدن دو حرکت راست و چپ اضافه دو حرکت بالا و پایین اضافه داشته باشیم یعنی رشته به صورت $RUDUB$ در بیاید. و برای حالت سوم نیز رشته باید به صورت $RUBFB$ باشد. دو حالت فوق همانند حالت اول محاسبه خواهند شد و در کل $20×3=60$ روش داریم که همان گزینه ج است.

</پاسخ>
  * [[سوال ۱۵|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۳|سوال قبل]]