====== سوال ۶ ======

قد ‎۸‎ دانش‌آموز به‌نام‌های ‎$J‎, ‎K‎, ‎L‎, ‎M‎, ‎N‎, ‎O‎, ‎P‎, ‎Q$‎ اندازه‌گیری شده است. می‌دانیم:

  * هیچ دو نفری هم‌قد نیستند.
  * قد ‎$J$‎ از قد ‎$K$‎ بلندتر نیست.
  * قد ‎$O$‎ از قد ‎$P$‎ بلندتر نیست.
  * قد ‎$L$‎ از ‎$M$‎ بلندتر و قد ‎$M$‎ از ‎$N$‎ بلندتر است.
  * قد ‎$N$‎ از ‎$Q$‎ بلندتر و قد ‎$Q$‎ از ‎$J$‎ بلندتر است.
  * $L$‎ تنها از بلندقدترین فرد کلاس کوتاه‌تر است.




چند ترتیب مختلف از نظر قد برای این دانش‌آموزان وجود دارد؟

  - ۳۴
  - ۳۵
  - ۳۶
  - ۳۸
  - ۳۹


<پاسخ>
گزینه (۵) درست است.

باتوجه به داده‌های مسئله ترتیب $LMNQJ$ به‌دست می‌آید٬ که قبل از $L$‎ باید فقط یک نفر قرار گیرد٬ اگر ‎$K$ قبل از $L$‎ باشد٬ آن‌گاه ترتیب افراد به شکل زیر٬ درمی‌آید:


$$KL\Box M\Box N \Box Q \Box J \Box$$

که اگر دو نفر $P$ و ‎$O$ پیش هم باشند٬ آن‌گاه یک خانه از مربع‌ها را انتخاب کرده و آن دو حرف را در آن‌جا قرار می‌دهیم(ابتدا $P$ و سپس ‎$O$)٬ که این کار به ۵ طریق ممکن است. اما اگر دو نفر $P$ و ‎$O$ پیش هم نباشند آن‌گاه دو خانه از مربع را به $\binom{5}{2}$؛ یعنی ۱۰  طریق انتخاب کرده و در اولی $P$ و در دومی ‎$O$ را قرار می‌دهیم.

اگر $P$ قبل از $L$‎ باشد٬ آن‌گاه ترتیب افراد به شکل زیر در می‌آید:


$$PL\Box M\Box N \Box Q \Box J \Box$$ 


که اگر دو نفر ‎$O$ و ‎$K$ پیش هم باشند٬ آن‌گاه یک خانه از مربع‌ها را انتخاب کرده و آن دو حرف را به $2!$ طریق در آن مربع قرار می‌دهیم( چون باید ‎$K$ قبل از ‎$J$‎ باشد٬ پس مربع آخر نمی‌تواند انتخاب شود)٬ این کار به $\binom{4}{1}\times2!$؛ یعنی ۸ طریق ممکن است. اما اگر دو نفر ‎$O$ و ‎$K$ پیش هم نباشند٬ آن‌گاه یکی از چهار مربع اول را انتخاب می‌کنیم و ‎$K$ را در آن قرار می‌دهیم و سپس یکی از چهار مربع باقی‌مانده را انتخاب کرده و ‎$O$ را در آن قرار می‌دهیم که این کار نیز به $4\times4$ طریق ممکن است. بنابراین تعداد کل حالات برابر $5+10+8+16$؛ یعنی ۳۹ خواهد شد.



</پاسخ>
  * [[سوال ۷|سوال بعد]]
  * [[سوال ۵|سوال قبل]]