المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله‌ی سوم:دوره‌ی ۲۳:سوال ۴

زوج ﻣﺮﺗﺐ

به زوج مرتب ‎$(a,b)$ کوچکتر از ‎$k$ می گوییم، اگر هم ‎$a < k$‎ و هم ‎$b < k$‎ برقرار باشد. به زوج مرتب ‎$(a,b)$‎ می گوییم ‎$-x$‎دوست ، اگر حاصل‌ضرب ‎$a$‎ و ‎$b$‎ بر ‎$x$‎ بخش‌پذیر باشد. ‎$f(x)$‎ را برابر تعداد زوج‌های ‎$-x$‎دوست و کمتر از ‎$\Delta$‎ تعریف کنیم.

  1. اگر مقدار ‎$f(1392)$‎ را ‎$M_1$‎ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم ‎$M_1$‎ بر ‎$\Delta$‎ چند است؟
  2. فرض کنید ‎$t$‎ بزرگ‌ترین عددی باشد که ‎$2^t < \Delta$‎. اگر مقدار ‎$\sum_{i=0}^{t}f(2^i)$‎ را ‎$M_2$‎ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم ‎$M_2$‎ بر ‎$\Delta$‎ چقدر است؟
  3. اگر مقدار ‎$\sum_{i=1}^{\Delta-1}f(i)$‎ را ‎$M_3$‎ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم ‎$M_3$‎ بر ‎$\Delta$‎ چقدر است؟ ‎

ابزار صفحه