المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله‌ی سوم:دوره‌ی ۲۲:سوال ۲

وﻗﺘﯽ ﺷﻨﮕﻮل و دوﺳﺘﺎﻧﺶ اوّل ﺻﺒﺢ ﺑﻪ ﭘﯿﮏ ﻧﯿﮏ ﻣﯽروﻧﺪ!

ﺻﺒﺢﮔﺎﻩ اﺳﺖ و ﺧﻮرﺷﯿﺪ در ﺷﺮق ﮐﻤﯽ ﺑﺎﻻ آﻣﺪﻩ اﺳﺖ. ﺷﻨﮕﻮل و $\Delta$ ﻧﻔﺮ دﯾﮕﺮ از دوﺳﺘﺎﻧﺶ ﮐﻪ همگی همﻗﺪ هستند، ﻣﯽﺧﻮاهند ﺑﻪ ﭘﯿﮏﻧﯿﮏ ﺑﺮوﻧﺪ. ﺑﺮای همین ﻣﻨﻈﻮر آن‌ها در ﯾﮏ ﺻﻒ ﻃﻮﻻﻧﯽ ﺷﺮﻗﯽ-ﻏﺮﺑﯽ در ﮐﻨﺎر هم و همگی رو ﺑﻪ ﺷﻤﺎل اﯾﺴﺘﺎدﻩاﻧﺪ. ﺳﺎﯾﻪی هرﮐﺲ، ﺑﻪ ﺟﺰ ﻏﺮﺑﯽﺗﺮﯾﻦ ﻓﺮد روی دوﺳﺘﺎﻧﺶ اﺳﺖ و آﻓﺘﺎب ﺑﻪ ﻧﯿﻤﻪی راﺳﺘﯽ ﺻﻮرت همه ﻣﯽﺗﺎﺑﺪ!

در اﺑﺘﺪای ﮐﺎر و ﺑﺎ اﻋﻼن آﻣﺎدﻩ ﺑﺎش هرﮐﺴﯽ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد اﻓﺮاد ﻣﻮﺟﻮد در ﺳﻤﺖ ﺷﺮﻗﺶ ﻋﺪدی اول اﺳﺖ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺷﺮق (رو ﺑﻪ ﺧﻮرﺷﯿﺪ) و در ﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻏﺮب (ﭘﺸﺖ ﺑﻪ ﺧﻮرﺷﯿﺪ) ﻣﯽﭼﺮﺧﺪ. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﺷﺮﻗﯽﺗﺮﯾﻦ ﻓﺮد ﭘﺸﺖ ﺑﻪ ﺧﻮرﺷﯿﺪ اﺳﺖ و ﭘﺸﺖ ﮐﻠﻪی ﻧﻔﺮ دوم از ﺳﻤﺖ ﺷﺮق را ﻣﯽﺑﯿﻨﺪ! ﻧﻔﺮ دوم وﻟﯽ ﭼﺸﻢ ﺗﻮ ﭼﺸﻢ ﻧﻔﺮ ﺳﻮم از ﺳﻤﺖ ﺷﺮق اﺳﺖ. آﻓﺘﺎب ﺣﺴﺎﺑﯽ ﺗﻮی ﭼﺸﻤﺎن ﻧﻔﺮ ﺳﻮم دارد ﻣﯽﺗﺎﺑﺪ! در ﭘﺎﯾﺎن اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ همه ﯾﺎ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺷﺮق ﯾﺎ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻏﺮب هستند.

ﭘﺲ از اﯾﻦ آﻣﺎدﻩ ﺑﺎش، ﺑﺎ هر ﺻﺪای ﺻﻮت، هر دو ﻧﻔﺮی ﮐﻪ ﻋﯿﻨﺎً ﭼﺸﻢ ﺗﻮ ﭼﺸﻢ همدﯾﮕﺮ هستند ﺑﺎﯾﺪ ١٨٠ درﺟﻪ ﺑﭽﺮﺧﻨﺪ؛ وﻟﯽ ﺳﺎﯾﺮﯾﻦ (در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ﭘﺸﺖ ﺳﺮ ﮐﺴﯽ را ﻣﯽﺑﯿﻨﻨﺪ ﯾﺎ ﺟﻠﻮﯾﺸﺎن ﺧﻮرﺷﯿﺪ ﯾﺎ دﺷﺖ اﺳﺖ) ﺑﺎﯾﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻤﺎﻧﻨﺪ.

اﻟﻒ): در اﺑﺘﺪای ﮐﺎر ﭼﻨﺪ ﻧﻔﺮ رو ﺑﻪ ﺷﺮق هستند و ﺧﻮرﺷﯿﺪ ﺗﻮی ﭼﺸﻤﺎﻧﺸﺎن ﻣﯽﺗﺎﺑﺪ؟

ب): ﭘﺲ از اوﻟﯿﻦ ﺳﻮت ﭼﻨﺪ ﻧﻔﺮ ﻣﯽﭼﺮﺧﻨﺪ؟

ج): ﭘﺲ از دهمین ﺳﻮت، ﭼﻨﺪ ﻧﻔﺮ ﺻﻮرﺗﺸﺎن رو ﺑﻪ ﺷﺮق (ﺧﻮرﺷﯿﺪ) اﺳﺖ؟

د): ﭘﺲ از$\Delta$ ﺻﺪای ﺳﻮت، ﭼﻨﺪ ﻧﻔﺮ رو ﺑﻪ ﻏﺮب (ﭘﺸﺖ ﺑﻪ ﺧﻮرﺷﯿﺪ) هستند؟

ﻩ): ﺑﻪ ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﻗﺮارﮔﯿﺮی (رو ﯾﺎ ﭘﺸﺖ ﺑﻪ ﺧﻮرﺷﯿﺪ) اﯾﻦ اﻓﺮاد ﭘﺲ از آﻣﺎدﻩ ﺑﺎش ﯾﮏ «ﭼﯿﻨﺶ اوﻟﯿﻪ» ﻣﯽﮔﻮﯾﯿﻢ. ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﭼﯿﻨﺶ اوﻟﯿﻪ ﮐﺎﻣﻼً ﺑﻪ ﻋﻬﺪﻩ ﺷﻤﺎ (و ﻧﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ اﻋﺪاد اول) اﺳﺖ. ﺷﻤﺎ وﻇﯿﻔﻪ دارﯾﺪ اﻓﺮاد را در زﻣﺎن آﻣﺎدﻩﺑﺎش ﻃﺒﻖ ﯾﮏ «ﭼﯿﻨﺶ ﮐﻮدک‌آزارﺗﺮﯾﻦ» ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻏﺮب ﯾﺎ ﺷﺮق ﺗﻨﻈﯿﻢ ﮐﻨﯿﺪ، ﺑﻪ ﻃﻮریﮐﻪ از اوﻟﯿﻦ ﺗﺎ ﭘﺲ از $\Delta$ اﻣﯿﻦ ﺳﻮت، ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻌﺪاد ﭼﺮﺧﺶهﺎی ١٨٠ درﺟﻪ در ﮐﻞ اﻓﺮاد در ﺗﻤﺎم اﯾﻦ ﻣﺪت ﺑﯿﺸﯿﻨﻪ ﺑﺸﻮد! اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد ﭼﺮﺧﺶ‌ها در «ﭼﯿﻨﺶ ﮐﻮدک‌آزارﺗﺮﯾﻦ» را $T$ ﻣﯽﻧﺎﻣﯿﻢ. ﺑﺎﻗﯽﻣﺎﻧﺪﻩی ﺗﻘﺴﯿﻢ $T$ ﺑﺮ ﻋﺪد ٢٠٠٠١٢ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟

و): ﺗﻌﺪاد «ﭼﯿﻨﺶ ﮐﻮدک‌آزارﺗﺮﯾﻦ»های ﻣﺘﻔﺎوﺗﯽ ﮐﻪ $T$ ﺗﺎ ﭼﺮﺧﺶ ﺗﺎ ﭘﺲ از $\Delta$ ﺳﻮت را ﺗﻀﻤﯿﻦ ﮐﻨﺪ را $M$ ﻣﯽﻧﺎﻣﯿﻢ. ﺑﺎﻗﯽﻣﺎﻧﺪﻩی ﺗﻘﺴﯿﻢ $M$ ﺑﺮ ٢٠٠١٢ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟


ابزار صفحه