المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۶:سوال ۳۴

سوال ۳۴

سه نفر با نام‌های مجید، علی، و محمد برای قرعه‌کشی بین خودشان از روش زیر استفاده می‌کنند:

هر سه نفر به‌طور هم‌زمان عددی بین ‎۱‎ تا ‎۴‎ انتخاب می‌کنند. اگر باقی‌مانده‌ی تقسیم مجموع این سه عدد بر ‎۳‎ مساوی ۱٬۰ یا ‎۲‎ باشد به ترتیب مجید، علی و محمد برنده می‌شوند.

آیا این قرعه‌کشی منصفانه است؟ (آیا احتمال برنده شدن هر سه نفر یکسان است؟)

پاسخ

مجموع سه عدد٬ یکی از اعداد ۴٬۳،…،۱۲ می‌باشد. تعداد کل حالات برابر با $4\times4\times4$ یعنی ۶۴ حالت می‌باشد. تعداد حالاتی که مجموع اعداد انتخابی ۱۱٬۱۰٬۹٬۸٬۷٬۶٬۵٬۴٬۳ و ۱۲ باشد به ترتیب برابر با ۳٬۶٬۱۰٬۱۲٬۱۲٬۱۰٬۶٬۳٬۱ و ۱ می‌باشد. به عنوان مثال مجموع سه عدد انتخابی وقتی برابر با ۱۰ خواهد شد که یک از سه نفر عدد ۲ و دو نفر دیگر عدد ۴ را انتخاب کنند و یا یکی از آن‌ها عدد ۴ و دو نفر دیگر عدد ۳ را انتخاب کنند که مجموعا ۶ حالت زیر می‌شود:

$$(2,4,4)-(4,2,4)-(4,4,2)-(4,3,3)-(3,4,3)-(3,3,4)$$ پس احتمال این‌که باقی‌مانده‌ی تقسیم مجموع سه عدد بر ۳ برابر با ۰ باشد عبارت است از احتمال این‌که مجموع سه عدد یکی از اعداد ۹٬۶٬۳ و ۱۲ باشد و آن احتمال برابر است با:

$$\frac{1}{64}+\frac{10}{64}+\frac{10}{64}+\frac{1}{64}=\frac{22}{64}$$

احتمال این‌که باقی‌مانده‌ی تقسیم مجموع سه عدد بر ۳ برابر با ۱ باشد عبارت است از احتمال این‌که مجموع سه عدد یکی از اعداد ۷٬۴ و ۱۰ باشد و آن برابر است با :

$$\frac{3}{64}+\frac{12}{64}+\frac{6}{64}=\frac{21}{64}$$

و بالاخره احتمال این‌که باقی‌مانده تقسیم مجموع عدد بر ۳ برابر با ۲ باشد عبارت است از احتمال این‌که مجموع سه عدد یکی از اعداد ۸٬۵ و ۱۱ باشد و آن برابر است با:

$$\frac{6}{64}+\frac{12}{64}+\frac{3}{64}=\frac{21}{64}$$


ابزار صفحه