تفاوت دو نسخهی متفاوت از صفحه را مشاهده میکنید.
— |
سوالات_المپیاد:مرحله_ی_اول:دوره_ی_۲۸:سوال_۳ [2018/12/20 11:19] (فعلی) Hamidreza seydi ایجاد شد |
||
---|---|---|---|
خط 1: | خط 1: | ||
+ | ====== سوال ۳ ====== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | مجموعهی | ||
+ | $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ | ||
+ | را در نظر بگیرید. تابع $f$ از $A$ به $A$ را | ||
+ | **ضربی** | ||
+ | گوییم، اگر به ازای هر | ||
+ | $x, y \in A$ | ||
+ | دست کم یکی از دو شرط زیر برقرار باشد: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * $x \times y > 5$ | ||
+ | * $f(x \times y) = f(x) \times f(y)$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | چند تابع ضربی $f$ از $A$ به $A$ وجود دارد؟ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | - 1 | ||
+ | - 2 | ||
+ | - 25 | ||
+ | - 50 | ||
+ | - 60 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <پاسخ> | ||
+ | گزینهی ۴ درست است. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | با جاگذاری | ||
+ | $x=1$ | ||
+ | و | ||
+ | $y=2$ | ||
+ | داریم $f(1 \times 2) = f(1) \times f(2)$ که نتیجه میدهد $f(1)=1$. حال با جاگذاری | ||
+ | $x = 2$ | ||
+ | و | ||
+ | $y = 2$ | ||
+ | داریم | ||
+ | $f(2 \times 2) = f(2) \times f(2)$ | ||
+ | که نتیجه میدهد $f(4)=f(2)^2$. پس برای انتخاب | ||
+ | $f(2)$ | ||
+ | و | ||
+ | $f(4)$ | ||
+ | دو حالت داریم. $f(3)$ و $f(5)$ نیز شرط خاصی ندارند و هر چیزی میتوانند باشند. پس پاسخ برابر با | ||
+ | $1 \times 2 \times 5 \times 5 = 50$ | ||
+ | است. | ||
+ | |||
+ | </پاسخ> | ||
+ | |||
+ | * [[سوال ۲|سوال قبل]] | ||
+ | * [[سوال ۴|سوال بعد]] | ||