گزینه‌ی ۱ درست است.

راه حل در سوال بعدی توضیح داده شده است.

گزینه‌ی ۲ درست است.

نشان‌ می‌دهیم اگر عدد حاصل از دو دنباله‌ی $a$ و $b$ با طول برابر یکسان باشد، $a=b$. آخرین ۰ دنباله را در نظر می‌گیریم. اگر بعد از آن ۱ای نیامده باشد رقم آخر $x$ در مبنای چهار برابر ۰ است. در غیر این صورت یا یکبار عدد ۱ بعد از آن آمده که در نتیجه رقم آخر $x$ در مبنای چهار، ۳ است و یا دوبار عدد ۱ آمده که رقم آخر $x$ در مبنای چهار برابر با ۲ است. در هر صورت آخرین رقم $x$ هرچه باشد یک یا دو یا سه عضو انتهای دنباله‌ی سازنده‌ی آن یکتا تعیین می‌شود. با حذف این عناصر از انتهای $a$ و $b$ و محاسبه‌ی مقدار $x$ قبل از آن‌ها دنباله‌ها کوچکتر می‌شوند و طبق فرض همچنان اعداد برابری تولید می‌کنند. با ادامه‌ی این روند پایان پذیر برابری $a=b$ ثابت می‌شود. پس مسئله به مسئله‌ی شمردن تعداد رشته‌های معتبر به طول $n$ تبدیل می‌شود.

$F(n)$ را برابر با تعداد رشته‌های معتبر به طول $n$ در نظر می‌گیریم. می‌توان نشان داد:

$$F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)$$

$$F(1)=2, F(2)=4, F(3)=7, F(4)=13, F(5)=24, ... , F(10)=504$$

گزینه‌ی ۴ درست است.

با کنار گذاشتن حالت $x=0$، می‌توانیم از ۰ های اول دنباله صرف‌نظر کنیم (چون $x$ را تغییر نمی‌دهند). پس دنباله با ۱ شروع می‌شود و حداکثر چهار ۰ بعد از آن داریم. زیرا در غیر این صورت عدد $x$ دست‌کم برابر با $3\times4^5=3072$ می‌شود. با این حساب بیشترین عدد $x$ با دنباله‌ی $[1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1]$ تولید می‌شود که برابر با ۲۰۴۶ است. تعداد ۱های موجود بعد از هر ۰ در دنباله می‌تواند عددی بین صفر تا دو باشد و دنباله با یک یا دو عدد ۱ آغاز خواهد شد. پس اگر $i$تا ۰ در دنباله داشته باشیم $2\times3^i$ حالت مختلف خواهیم داشت.تعداد ۰ها در دنباله پنج حالت دارد ($0\leq i \leq 4$) در نتیجه پاسخ سوال برابر است با: $$1+\sum_{i=0}^4 2\times3^i = 1+2\times(3^0+3^1+3^2+3^3+3^4) = 243$$