سوال ۱۶
فردی در نقطه‌ی (۲٫۳) جدول مختصات قرار دارد. او در هر حرکت اگر در نقطه‌ی ($j$٫$i$) باشد٬ می‌تواند به یکی از نقطه‌های $(i + i\times j, j)$ , $(i - i\times j, j)$ , $(i, j - i\times j)$ , یا $(i, j + i\times j)$ برود. با تکرار این حرکت‌ها٬ این فرد به کدام یک از نقطه‌های زیر می‌تواند برسد؟
- $(-۲۵۶٬۹۰۰۲)$
- $(۱۵۳۵٬-۲۵۳۰۱)$
- $(-۱۸٬۱۵۴۰۰)$
- $(۳۲٬-۹۲۰۷)$
- $(-۱۷۰۱٬۲۵۶)$
پاسخ
گزینه (؟) درست است.
چون یکی از مولفه‌های زوج مرتب داده شده٬ زوج است پس در هر مرحله به هر مولفه مقداری زوج اضافه و یا کم می‌شود که زوجیت عدد اولیه را تغییر نمی‌دهد٬ بنابراین جواب نهایی جوابی است که مولفه اولش زوج و مولفه دومش فرد باشد که در بین گزینه‌ها فقط گزینه «د» چنین ویژگی را دارد. البته این شرط٬ شرط لازم بوده و کافی نیست. در هر مرحله نقطه ($n$٫$m$) به یکی از نقاط $(m(1-n),n),(m(1+n),n),(m,n(1-m)),(m,n(1+m))$ تبدیل می‌شود به این معنا که یکی از مولفه‌های ثابت مانده و مولفه دیگر در (۱ + مولفه ثابت) و یا (مولفه ثابت - 1) ضرب می‌شود. اگر مولفه‌های اولیه غیر مساوی با ۱ باشند٬ قدر مطلق مولفه‌های نقاط بعدی از قدر مطلق نقاط قبلی بیش‌تر می‌شود. بنابراین نقطه اولیه متناظر به زوج مرتب موجود در گزینه «د» به شکل زیر به‌دست می‌آید:
$(32,-9207)=(32,-31\times33\times9) \Rightarrow =(32,33\times9) or =(32,-31\times9) \Rightarrow =(32,9)=((-4)\times(-8),9)$
$\Rightarrow =(-4,9)=(-4,(-3)\times(-3)) \Rightarrow (-4,-3)=(-4,(1)\times(-3)) or ((-1)\times4,-3) or ((-2)\times2,-3)$
$\Rightarrow =(-4,1) or (-1,-3) or (2,-3)$
معلوم است که هیچ یک از نقاط به‌دست آمده به نقطه(۲٫۳) نخواهد رسید٬ بنابراین جواب درست در گزینه‌ها نیامده است.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
