المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:دوره‌ی تابستان:متفرقه:سوال ۶

صفحه‌ی شطرنجی

یک صفحه‌ی شطرنجی $n\times n$ را در نظر بگیرید که در آن $n$ عددی زوج و مثبت است و در هر خانه‌ی آن عددی صحیح قرار دارد. دو عمل زیر را روی آن تعریف می‌کنیم:

  • به تمام خانه‌ها عدد دلخواه $k$ را بیافزاییم ( $k$ عددی صحیح است و می‌تواند منفی هم باشد).
  • یکی از خانه‌های غیر حاشیه‌ای جدول را انتخاب کنیم و مجموع مربعات اعداد روی هشت همسایه‌ی آن را به آن بیفزاییم و سپس تمام اعداد روی این هشت خانه را به صفر تبدیل کنیم.

حال جدولی را در نظر بگیرید که در آن عدد خانه‌ای که در سطر $i$‌ام و ستون $j$ام قرار دارد برابر $i+j$ است با این استثنا که در خانه‌ی $(1,1)$ عدد ۱ قرار دارد. ثابت کنید که با هیچ دنباله‌ای از اعمال بالا نمی‌توان تمامی اعداد جدول را برابر کرد.


ابزار صفحه